А если рабочая виза, а не ВНЖ, то на Шенген в Сербии россиянин подать не может?

Если у вас привремени боравак, то может. Сейчас сложная ситуация с визами, в некоторые посольства очереди на пару месяцев, где-то вообще не записывают и говорят напишите нам через месяц. Отдельные требуют апостили или какие-то нестандартные документы. Я рекомендую писать в посольство и уточнять список документов для всех членов семьи, указывая ваше гражданство и основание прибывания в Сербии.

Кстати про визы. Мне сейчас дали Шенген на 5 дней. А у меня стални боравак и миллион виз в прошлом.