Подскажите пожалуйста. Есть мама дедушки, родилась Хаей, об этом есть выписка из синагоги. Когда сменила имя на Екатерину неизвестно.

Могло не быть официальной смены имени. В иудейской документе она под своим еврейским именем, во всех остальных записывали под тем, которым пользовалась в быту, в русскоязычной среде. Особенно если национальность не менялась. В том случае, если отдельного акта об изменении имени нет, подтверждать остаётся через сопутствующие признаки. Если отчество везде одно, фамилия одна, дата рождения одна - то это таковые признаки. Моя прабабушка в справке о захоронении под своим еврейским именем, во всех остальных, светских документах - под другим. Но она не меняла фамилии (да и не могла, выйдя замуж за кузена с такой же фамилией), дата рождения везде одна, национальность еврейская всюду, где указывалась. Имя она совершенно точно не меняла официально, но есть момент: её еврейское имя превращается почти всегда в тот русский аналог, под которым в жизни её знали. Более того, женщина, всю жизнь отдавшая работе в еврейской общине, призналась мне, что никогда за свой век не знала превращения этого имени в другие русские имена, кроме одного, которое носила прабабушка. По поводу же Хаи и Екатерины... Есть некоторый простор для вариаций. В любом случае, если акта о смене имени нет (вероятно, его и не существовало), то подтверждение через перечисленные признаки только возможно, ну, справку ещё можно из Института русского языка, что Хая может превратиться в Катерину. Просто по логике больше ничего не придумать, нет ведь живых свидетелей.