После получения второго гражданства Израиля нужно сообщать об этом властям России ( если да, то куда)?

Про деньги не знаю, а про второе гражданство сообщаете только после первого приезда в РФ. Из Израиля не надо.

Об открытии счета - в налоговую. Можно через ЛК налогоплательщика. Резидент РФ уплачивает в РФ налоги с доходов, полученных как в РФ, так и за пределами РФ, нерезидент РФ - с дохода, полученного в РФ. Чтобы двойного налогообложения не было, нужно знать, что за доходы, поскольку в соответствии с соглашением между РФ и Израилем, они облагаются по-разному. И не знаю, что после НГ будет с доходами, полученными нерезидентами, работающими в компаниях РФ (изменения в НК с 1 января), находясь за пределами РФ. Видимо здесь будет двойное налогообложение... Скорее всего 30% в РФ, а в Израиле не платить ибо ставка ниже.