Американская компания открывает офис на Кипре для релокации сотрудников из России.

Да. Нет. Никаких бонусов.

Может заключить обычный контракт по удаленной работе с контрактором вне Кипра без виз и разрешений. По налогам - их платите вы, в конечном итоге, компании одинаково. Сотрудник может быть сразу или потом релоцирован по рабочей визе(если у компании есть разрешение), либо сам приехать на ВНЖ, но тогда компания теряет легальную возможность его нанять на Кипре. Факт удаленной работы на компанию с Кипра в миграционном плане не влияет никак.

1. может. 2. не влечёт 3. сможет.