Дочка родилась на Кипре. Свидетельство о рождении российского образца, выдано Кипром. Очень надо поставить апостиль на него.

У вас СОР выдан Кипром (Республика Кипр) или посольством РФ на Кипре?

Апостиль ставят на иностранный документ, выданный одной страной, чтобы его признали в другой если бы было выдано иностранным государством - то как раз можно было апостилировать, а затем заверить перевод и поставить штамп о гражданстве в консульстве РФ. Но документ выданный органом РФ действителен в РФ автоматом, так что да, надо до них как то донести это. В Москве это, кстати, в МФЦ делается - даже если свидетельство иностранное, и его при всем желании РФ база ЗАГС не увидит, приносишь все в МФЦ (мои документы) и они забивают и подтверждают родство с ребенком в аккаунте мос. ру.