как правильно передача денег происходит, при аренде жилья в ирландии?

По-разному. Мы наличкой отдавали в конверте, нам написали на договоре ручкой про это. Но агент показывал пластиковую карточку, что он зарегистрирован и имеет право эти деньги брать.

Для таких случаев есть bank draft. Ты этот чек выпускаешь заранее, но отдаешь в момент подписания договора и с агента берешь квитанцию о получении им денег. У этого метода есть еще хороший момент что он трейсится и обналичить его может только тот на кого выпущен (в твоем случае агентство) С кешем в конверте потом никому ничего не докажешь. Хотя тут джентельмены все и верят на слово. Тем не менее лучше не рисковать.

Мы за первый месяц и депозит переводили наликом в банковском терминале на счет агенства. На руках остается бумажка о переводе.

Мы с хозяйкой подписали на daft электронный договор прямо в телефоне. И далее, просто в квартире, по результатам просмотра, по реквизитам я перечислил хозяйке деньги через интернет-банк. Договор с ней, счёт ее, если что есть с кого спросить. Что то не получалось в полном объеме, но она сказала, не вопрос, в течение нескольких дней же можно.