Нужно сделать доверенность (на операции с банковским счётом в РФ). Может ли кто подсказать куда обратиться в Никосии?(Кроме консульства РФ, т. к. надо срочно)

Кроме Никосии - в Ереван.

Вы можете сами подготовить доверенность, подписать её, заверить у certifying officer, district officer и затем апостиль. Но заранее обсудите это с банком и попросите у них шаблон.

Для начала поинтересуйтесь у банка, примут ли они иные доверенности, кроме выданных по рф стандартам в консульстве.