Подскажите, правда ли, что со всех поступлений на счёт в израильском банке (включая корзину) нужно платить налог в российской бюджет (если, конечно, как полагается, уведомить об этом счёте налоговую в России? А если не уведомлять - штраф?

Если вы сохраняете статус налогового резидента в РФ, то конечно надо платить со всего мирового дохода. И принимать к зачёту налог уплаченный у источника выплаты, при условии наличия соглашения об избежании двойного налогообложения с этой страной.