Как быстро выдают ТО с момента обращения к куратору? Какая статистика?

Если вы имеете в виду советника в министерстве алии и интеграции, то этот советник прям при вас этот ТО может и изготовить. А куратор - это человек, работающий в отделе абсорбции мэрии и помогающий вам адаптироваться в незнакомой стране. К куратору тоже можно обратиться, конечно, но разве что с целью записать вас к советнику в министерство алии на получение ТО.