нужно ли в России кого-то уведомлять, что я на пмж уезжаю в Сербию, может налоговую, банк и т. д?

Только родителей))) ну, может друзей. А так, никого больше))

Если станете налоговым резидентом Сербии, то нужно будет подать в налоговую 3-НДФЛ на доход в РФ в период подачи деклараций