Какие особенности о пересечении границы в Хандагайты при поездке в Улаангом? Хочу на две ночи туда, посмотреть на озёра - и обратно.

Хандагайты/Боршоо, двусторонний переход, особых отличий нет. Гостиницы - можно примерную цену сказать, например, на 2020 год гостиница Таван-Од стоила 35-80000₮. Ну считайте примерно сейчас в 1,5-2 раза дороже. По русски едва ли говорят, разве что самую малость. Минимальная сумма-та, что вам достаточна на пребывание там (страховка, бензин, еда, ночлег, покупки, тут у всех свои ориентиры.