Есть ли определенные правила по подачи заявки в школу: сначала «прописка» в городе, а потом отправка заявки или можно пробовать сначала записаться, а потом искать жильё рядом?

Есть понятие Sprengelschule: Эта школа и привязка места прописки. Поэтому про расстояние вопрос нерелевантен. Принцип этот относится к начальным и средним школам ( Grund, Mittelschule) и Berufschule. Остальные ( Realschule, гимназии) - они на "конкурсной"основе, поэтому их можно выбрать. Sprengelschule можно найти в интернете, задав почтовый индекс. Насколько я понимаю, если у вас еще нет прописки, вы можете подать так называемый Gastantrag в будущую школу, именно на основании того, что вы скоро будете к этому району принадлежать. Но за школой остаётся право этот гостевой антраг отклонить.