можно ли организовать самостоятельно путешествие из УБ до пустынь, чтобы посмотреть на них в живую?

Можно. Но смотря что вы имеете в виду. В Монголии участков, какие в стереотипном представлении называются пустынями (большие барханы, верблюды) не так много, пустыня Гоби, которая занимает значительную часть страны — это хаммада, каменистая пустыня. Барханы тоже есть, но их мало и они не сильно большие по площади. Наиболее раскрученный участок с барханами это Хонгорын элс, в Южногобийском аймаке. Ехать до Даландзадгада автобусом, далее искать попутку /частника до Хонгорын элс, рейсовых автобусов туда нет. Кроме Х. Э. есть и другие участки с песками, например в Дзавханском аймаке, или совсем недалеко от УБ (Элсэн Тасархай), это место и вовсе на автодороге. Для первого раза советовал бы лайт-версию с поездкой в Сайншанд поездом, вот тут об этом Но там с барханами туго. Верблюды в наличии.