если машина на меня, мужу обязательно доверенность нужна?

Нотариальная доверенность с правом выезда за границу.

У нас у друзей спрашивали, хотя там мужа рядом не было (владельца машины).

Если муж рядом то не нужна. Доверенность нужна если нет владельца авто рядом, если авто н6а юр лице и едет не директор. На таможне не смотрят кто за рулем. Но есть момент, сигнальные ракетницы, балончики с газом (например от медведя) лучше не брать. с удочками могут быть проблемы на монгольсой таможне.