В сообщении от консульства есть указание зарегистрироваться в специальном бюро. Причем сделать это необходимо за 14 дней с момента въезда в Германию.

Работать вы можете и без Anmeldung, у вас же контракт уже есть. В течение 14 дней вам нужно не зарегистрироваться, а подать документы на регистрацию - это можно сделать онлайн. Счёт в некоторых банках вы можете открыть без Anmeldung.

Свободные слоты можно поймать, если постоянно мониторить сайт записи. Либо попробовать придти ногами в bürgeramt. Я регистрировался 14 июня и была возможность прямо на месте взять термин на тот же день. Собственно я его и взял по ошибке, но сразу сдал обратно.

Если вы имеете ввиду получить прописку (а обычно это я видела в связке "14 дней"), то в любое bürgerbüro к моменту открытия и в порядке живой очереди с паспортом, wohnungsgeberbescheinigung и meldeschein заполненым прийти. делается 10 минут на месте.