Подскажите, чтобы снять квартиру в Белграде, нужно заплатить за первый и последний месяцы и какие-то залоги/налоги?

Нужно заплатить цену за квартиру и депозит такую же сумму.

Ну, фактически, одну месячную стоимость вы заплатите за первый месяц, ещё одну как залог, и ещё одну - риэлтору, если будете искать с риэлтором. Сейчас без риэлтора сложно что-то искать. Но некоторые берут лишь половину стоимости аренды.