Можно ли как-то продлить пребывание более 90 дней туристу? Или вылететь и снова влететь? Гражданство РФ.

Сразу нельзя будет влетать. Должно пройти определенное количество времени, на сайте МВД Израиля написано сколько должно пройти. Чтоб подать на продление, нужно написать письмо, естественно не на русском от руки, в котором должна указаться веская причина почему хочешь и на сколько остаться. Расписать чем занималась 3 месяца в Израиле, что аж не успела и нужно тебе ещё время. Если это отдых, то нужны все документы для этого предоставить. Но шансов практически "0", дают продление только родственникам, т. к 3 месяца туристу здесь нечего делать, это понятно любому работнику МВД.