В какой момент человек уже может официально устраиваться на работу, снимать жильё на долгий срок, если он прилетает по ускоренной, проходит в течение двух недель КП, потом записывается в МВД? Когда у него появляются необходимые для этого документы?

На работу - как только есть ТЗ хотя бы временный , арендовать надолго - обычно когда есть счёт в банке.

Когда есть временный ТЗ - можно идти на работу и снимать квартиру. Конечно, в идеале, чтобы была чековая книжка уже - тогда без проблем сдадут квартиру. Но тут хозяева, в целом, нормально относятся к тому, что вы говорите, что чековая книжка еще делается, за первый месяц готовы заплатить наличными.