Подскажите кто знает как лететь на Кипр через Грузию и где покупать билеты?, какой авиакомпании? И покупаются ли билеты Грузия(не знаю из какого города) - Кипр заранее или непосредственно по прилёту, уже на месте?

Из кутаиси.

Можно попробовать долететь Belavia до Кутаиси(Грузия) через Минск. А из Кутаиси до Ларнаки дважды в неделю летает лоукостер Wizz air. Лучше покупать билеты на сайте заранее, ближе к вылету они сильно дороже. Насчёт оплаты не подскажу, возможно, можно попросить кого-то из местных жителей.