в Сербии есть какието требования к статусу прежде чем вакцинироваться дадут? или можно просто частным образом по туризму вакцинироваться?

Частным. Заграна и белого картона(причём любого) вполне хватит.

Даже не спрашивают. пришли в ТЦ, показали паспорт, заполнили анкету на 4 пункта, всё.