Приезд в Белград, а далее непрерывное передвижение по стране. Как правильно оформить белый картон? Первые два дня в отеле, в Белграде. Оформить его там достаточно? Или ещё и во всех местах далее тоже нужно будет оформлять?

Мне кажется вы только один можете оформить и все)

По-моему, во всех местах. Меняется место жительства - меняется регистрация (белый картон).

Ну по стране и по стране. Пусть в отеле вам распечатают БК с открытой датой выезда. Хотя , какая разница, если вы будете жить не в палатке, то вам в каждом мотеле будут делать бк. Если в палатке и вас это сильно волнует, то пусть открытую дату выезда оставят и ездите по Сербии сколько влезет. Новый бк потребуется после только после пересечения границы.

В отеле вам сделают с открытой датой распечатку. Но, по факту, в системе вы будете числится без документов после выселения. Официально, нужно делать бк при каждом перемещении, но в реальности, как правильно написали, если будет просто визаран, то самого первого хватит. На границе всем всё равно, главное, чтобы распечатку им отдали.