Можно ли по туристической визе находясь уже в Италии поступить на учёбу? И можно ли по ней же открывать банковский счёт и дебет карты?

На учебу нельзя.

Нет.

Ещё до всей этой ситуации очень мало где можно было открыть карту без ВНЖ. В основном отказывали. Про учебу: можно найти какой-нибудь postgraduate, договориться с ними, попробовать оставить заявку о намерениях, чтобы они ее приняли и поставили печать, дальше с этим возвращаться в Россию и подавать документы на учебную визу в консульстве. Правда, такое работало 8 лет назад.

В период ковида все заявки от студентов из-за рубежа подаются централизованно, через сайт. И для студентов из ЕС/Италии, и для студентов из третьих стран разная процедура подачи документов и разные сроки. В случае, когда необходима учебная виза, все равно нужно возвращаться домой и делать учебную визу через консульство и с ней уже въезжать на учебу и подавать на ВНЖ. По поводу открытия счета нерезидентом уже ответила - нет. Мне открывали подобную по спецслучаю и сильно по знакомству года 3 назад, так просто никто не будет это делать. И далее подобные счета нерезидентов были заморожены и закрыты.