Хотела узнать должна быть обязательно трудавая в Венгрию? И если уволиться с работы? Что будет?

Вот этого не знаю. Но есть общая база, думаю, в Венгрии, там все данные, где работали, сколько налогов платили. И тому подобное.

Да, есть розовая книжечка в которой записывается место и период работы. она должна быть. Поэтому обязательно требуйте, чтобы работодатель Вам её выдал при увольнении.