Если гражданин России получит визу для въезда в Венгрию, может ли он затем путешествовать в другие страны Шенгенской зоны (на поезде, автомобиле или самолете)?

Однозначно да.

Не во все, а только туда, где нет ограничений на границе. Причём в тех странах, куда он попадет без ограничений , его присутствие может считаться незаконным. Но кому какое дело?) Обычно никто не проверяет туристов, их видно издалека.