Если лететь из Шенгена в Россию через Будапешт, спрашивают ли какие-либо документы по прилëту(ПЦР, формы) в Венгрию или проход свободный и никаких доп проверок нет? В Испанию из Венгрии требовали только форму для въезда.

Вы не написали ни какое у вас гражданство, есть ли резиденство, есть ли сертификат вакцинации...

По правилам для въезда в Венгрию у вас должен быть отрицательный ПЦР тест, сделанный за 72 часа. Проверяют ли его внутри ЕС - обычно нет, но всякое может быть. В том числе при посадке.