Подскажите, пожалуйста, если сын в июне поступит в университет Сербии, он там сможет спокойно находится до начала учебного года или нужно будет визаранить?

Смотря какой датой его зачислят, как только справка от университета будет, что он студент - можно оформлять боравак и не визаранить, но насколько я осведомлена, почти все гос. университеты зачисляют октябрем, тк там семестр начинается с октября. Но лучше вам уточнить на факультете, правила внутренние могут отличаться.