Подскажите пожалуйста как оформить книжку здоровья после получения ВНЖ Сербии и пользоваться обычной медициной? Такое возможно?

А по какому основанию у вас ВНЖ? возможно во всех случаях, но есть нюансы.

Вы платите паушалку, в ее число входят взносы за госстрах. Если у вас есть бух - свешайте эту работу (оформление здравственной книжици) на него. Если хотите лично посмотреть на инспекторов соцтраха - идите в свой РФЗО (фонд здравственного осигурания) с подтверждением боровака, бумагой из АПР и своим паспортом и пишите заявление на книжицу.