У меня есть carta di soggiorno, но нет residenza, Если я ее сделаю, мне выдадут тессеру и я смогу сделать вакцину в Италии ?

Да. С сертификатом risidenza обратитесь в местный asl, вас зарегистрируют и сразу выдадут бумажный вариант tessera sanitaria, которой можно пользоваться. Пластиковую карточку пришлют по почте.