Подскажите пожалуйста, возможно ли заказать новую банковскую карту из России и каким банком лучше пользоваться?

Тинькофф отправляет только дублёр дебетовой карты, если у Вас не было карты до этого, то новую невозможно оформить без личного присутствия в России. Как вариант, Ваши родственники оформляют на себя карту, а Вам сюда отправляю эту карту сами, почтой, за деньги.