Поясните пожалуйста, наш хост с air bnb, сделал для нас белый картон без похода в полицию, заверил, что с таким документом мы можем открыть счёт в банке.

Спросите, сделал ли он его на euprava? если да, то должно работать, так как это легально. Если это какая-то странная мутка в стиле сам напечатал - могут быть проблемы в будущем. Так как при оформлении белого картона на постоянном месте жительства (в квартире/доме) у вас попросят картон, который был до этого, доказательство, что вы находились на территории страны легально.