При перелете Санкт-Петербург - Франкфурт на Майне - Будапешт, какая страна будет считаться страной въезда в Шенген?

Абсолютно все равно, выходите Вы или нет. Вам поставят штамп въезда в Германию (Шенген).

Если вас интересует вопрос визы, то нужно оформлять в ту страну, где вы будету пребывать большее кол-во времени. Если одинаково, то в ту куда прибудете в первую очередь. Как я понимаю, во Франкфурте у вас лишь пересадка, а основная цель поездки Будапешт, если все верно, то виза оформляется в Венгрию.