Подскажите, где в Уральске можно оформить ИИН не резиденту и как быстро это можно сделать?

ИИН получают в Центрах обслуживания населения, ЦОН. Это аналог нашего МФЦ.

Просто вбейте в картах или поисковике ЦОН Уральск. Их несколько.

Быстрота оформления - от суток (если они ничего не накосячат) до трёх, во всяком случае так было 3 года назад.

Настоятельно рекомендую завести казахстанскую сим-карту и въезжать по загранпаспорту.