Есть ли на Кипре аренда авто? Чтобы арендовать машину на время и понять всё про местные дороги, парковки и т.п.

Естественно. И rent car , и car sharing.

И Hertz, и Europcar, Avis, Budget и много других. Прямо в аэропорту много стоек есть.

Да, добавлю ещё что есть нормальный сервис Ride now если надо куда-то доехать. Пользовалась, понравилось.