Подскажите, пожалуйста, куда можно сходить, съездить одной в Тбилиси или близ Тбилиси?

да куда угодно. Мтацминда, проспект Руставели ( там куча музеев, и сама улица очень красивая) Мцхета (экскурсия), Кахети, Вардзия , Боржоми.....

Район Метехи, там церковь успения и потрясающий вид, рядом можно пройтись до парка, оттуда на канатке до нарикала крепости, также можно сходить в район бань - абанотубани, если неподалёку от Тбилиси есть церковь Джвари от туда вид на слияние 2х рек