Если работаю и живу в Москве, но прописана в регионе. Подавать на визу Великобритании собираюсь в Екатеринбурге, т.к. нахожусь у мамы в гостях - не будет ли вопросов, почему не в Москве подача?

Можно в любом городе подать

Люди иногда едут в другие города просто потому что удалось записаться туда, а в своём городе не удалось

Можно податься где угодно. Главное словить слот на запись. Ну и потом сдать биометрию и получить паспорт.