Подскажите, пожалуйста, в Казахстане и в Узбекистане есть ли вопросы ДПС к автобоксу, установленному на крышу автомобиля? Никого не тормозили из-за автобокса?

В целом, автобокс не является запрещенным аксессуаром. Пока он установлен надежно, не закрывает обзор водителю, не препятствует опознаванию номерных знаков и не выступает за габариты автомобиля более чем это разрешено (обычно в правилах указаны конкретные цифры, касающиеся выступа груза), проблем быть не должно.

Могут проверить надежность крепления. Инспектор имеет право проверить, насколько надежно закреплен автобокс. Убедитесь, что все крепления затянуты и не повреждены. Редко придираются. На практике, сотрудники ДПС редко останавливают автомобили специально из-за автобоксов, если визуально все выглядит нормально.