Может ли россиянин получить туристическую визу Чехии, чтобы лечится на курорте в Карловых Варах ?

Может, но получать туристическую визу должен в другой стране входящей в шенгенское соглашение....

Ну и иметь при этом биометрический заграничный паспорт

Можете получить любой шенген и из страны выдавшей на автобусе или ЖД въехать в Чехию, а там уж оформляйтесь в отели/курорты.

Посмотрите, чтобы у вас был 10-летний паспорт, иначе все остальное напрасно.