Подскажите, лечу с дочкой в Сербию, Белград, жить будем в отеле неделю, бронь есть. В отеле оплачиваю турсбор и они делают нам регистрацию.

Попросите распечатать белый картон при выезде из отеля.

Вам не нужны никакие документы от отеля. Разве что регистрацию в eTurista (т.н. Бели Картон) вам должны дать, но так как это электронная система, пограничники видят всё и так.