Подскажите пожалуйста, если в Венгрии мне понравилась квартира при просмотре, я хочу оформить аренду, агент по недвижимости просить внести депозит на 1 месяц сразу (

Всегда! Сначала договор , а потом деньги. Если деньги переданы наличкой еще берите расписку о получении денег с четким описанием за что именно передали деньги. И в договоре должен быть прописан депозитный платеж.