Лечу Air Serbia из Рима в Москву, с длинной пересадкой, почти сутки. Скажите, а куда девается мой багаж, когда я прилетаю в Белград? Он уходит со мной или же остается ждать моего второго вылета в аэропорту?

Ждёт вылета в аэропорту, если дальше летите этой же авиакомпанией и не требуется новая регистрация на рейс

Я не знаю, как на сербских авиалиниях, но раньше, когда багаж сдавала с длинной стыковкой, то можно было сказать, что возьму багаж в аэропорту стыковки и они тогда соответствующую бирку вешали - ну, если Вам багаж нужен)