Подскажите пожалуйста, оформили разрешение, но изменились планы и поездка передвигается на неделю.

Нет, дату изменить нельзя. Но проблем не должно возникнуть, если вы приехали на неделю позже, чем указано в кете. Если раньше, то могут и спросить

У меня в К-ете даты были на июнь, но в итоге я полетела в Корею в декабре, никто не спросит об этом,

К-ЕТА действует 3 года, по ней можно заезжать на 90 дней (60+30) в каждые 180 дней. Даты в К-ЕТА не меняются.