Подскажите пожалуйста, можно ли выехать из России в Азербайджан по Азербайджанскому паспорту, имея гражданство РФ?

Сухопутно выпускают только тех, у кого есть гражданство РФ (но не впускают)

Можно, но возникнут вопросы, и может грозить штраф.. вообще-то действует правило въезда/ выезда из страны, чьим гражданином являетесь.

На сегодняшний момент попасть в АзР можно только воздушным путем,.

Если вы про сухопутную, то общий вопрос нет.. далее не знаю, по обстоятельствам.

Из России надо выезжать по российскому паспорту. Если пограничник увидит что у вас есть российского гражданство (а он почти наверняка увидит) - он вас просто не выпустит без российского заграна.