Скажите, пожалуйста, если собака живет в России, но часто 2–4 раза в год выезжает в Европу, стоит менять паспорт на европейский ?

Оставляйте российский

Так как вам с сентября все равно нужны будут титры с выдержкой, я бы сделала так: поехала бы в страну, где прививку от бешенства делают на 3 года. На эту прививку сдала бы через месяц кровь на титры и каталась туда-сюда, обновляя раз в три года прививку от бешенства.