Что делать, если после получения ВНЖ в Армении очередь на регистрацию аж на 4 месяца вперёд? Получается, при регистрации мне придётся заплатить штраф или можно как-то объясниться, что долго в очереди была?

Скорее всего, не придётся, и можно будет объяснить ситуацию. Но….

ВАР, но может помочь сохранение где-нибудь подтверждения подачи заявки на регистрацию с датой (то же email подтверждение думаю подойдет)

Я просрочила где-то на месяц, не штрафовали.