После получения ВНЖ, смена места жительства, как происходит? Можно ли по Казахстану потом передвигаться без регистрации и работать?

Работать можно. Регистрацию по месту проживания оформлять обязательно, через миграционную с присутствием собственника.

Нужно обратиться в миграционку со справкой с учебы и трудовым договором, пробовать оформить временную регистрацию. Но могут заставить менять постоянную.