На поезде из Омска в Астану с покупкой билета по загран паспорту штамп поставят? В какой момент это происходит, прямо на ходу поезда до Петропавловска?

Да на оба вопроса.

Когда пересекаешь границу, поезд сначала на российской границе примерно час стоит, а потом на казахской границе примерно столько же.

Даже из поезда не выходишь при этом.