Скажите, на русский паспорт и армянский номер можно сделать карту? И в каких банках это можно?

Можно в юнибанке (дополнительно надо подтвердить доход, например, справкой 2-НДФЛ или выпиской с российского счёта), карта будет работать везде, где принимают VISA, кроме Азербайджана, но переводы будут доступны только внутри Армении и между Россией и Арменией в обе стороны. P. S. Можно ещё в VTB открыть карту Мир, но вряд ли она Вам нужна.