Могу я здесь, в Грузии, написать доверенность на вывоз ребёнка моим мужем (не является отцом ребёнка) или нужно это в посольстве рф делать?

Выезжать за границу ребенок может с одним из законных представителей, а возвращаться уже один. Для этого не нужно особых разрешений. ч. 2 ст. 27 Конституции РФ ст. 2 Закона о порядке выезда из РФ и въезда в РФ Гражданин нашей страны, в том числе ребенок, не может быть лишен права на въезд в Россию.