Скоро заканчивается РВП. Подскажите, новый нужно делать только после того, как текущий закончится, или можно уже сейчас документы подать, чтобы сделали со следующей даты после окончания текущего?

Лучше заранее подать документы на продление РВП.

Если вы увольняетесь, то можно прям сейчас на новый подать, приложив приказ об увольнении, в течение 15 дней с увольнения. А если трудовой договор продлевается, то за 2 недели до окончания РВП можно подать на продление, оформив доп соглашение.