Ребёнку на Кипре нужно делать шенген. Если второй родитель не может присутствовать в посольстве, какой документ предоставить, что он не против получения визы и выезда ребёнка?

Заверенное согласие на получение визы и выезд ребенка. Если здесь делать, то заверенное сертифайд офицером. Если в РФ\другой стране делать, от нотариуса, поставить на него апостиль (в идеале, тк например VFS любит на этот счет вахтерить) и перевести здесь через sworn translator (у меня опять-таки VFS нотариальный перевод из РФ в сентябре брать отказались). Документ должен быть на языке, который требует консульство. Обычно английский подходит, но проверяйте.